現代數學基礎叢書 索伯列夫空間導論pdf

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2018年5月4日10:09:17 評論 909

現代數學基礎叢書 索伯列夫空間導論 內容簡介

《現代數學基礎叢書:索伯列夫空間導論》主要講述索伯列夫空間一般理論和在非線性偏微分方程中的應用。內容涉及Lebesgue空間Lp(Ω)及其基本性質;整數階索伯列夫空間Wm,p(Ω)及其性質;Wm,p(Ω)空間的嵌入定理、緊嵌入定理和插值定理以及連續函數空間的嵌入定理。論述研究非線性發展方程時,常用到的含有時間的空間和含有時間的索伯列夫空間。介紹類似于索伯列夫空間嵌人定理的離散函數的插值公式,并利用離散函數的插值公式證明廣義Schrodinger型方程組初邊值問題整體廣義解的存在性。講述速降函數、緩增廣義函數以及它們的Fourier變換和Lebesgue空間的Fourier變換,分數階索伯列夫空間Hs(RN)和Hs(Ω)及其性質。介紹近年來國內外關注的幾個非線性發展方程的初邊值問題和Cauchy問題解的存在性以及解的爆破現象和解的漸近性質,使讀者較快地利用索伯列夫空間這個有力理論工具,進入研究偏微分方程等學科的前沿。

《現代數學基礎叢書:索伯列夫空間導論》可作為偏微分方程、計算數學、泛函分析、數學物理、控制論和微分幾何等專業的本科生、研究生的教材和參考書,也可供從事相關專業研究的科技工作者參考。

現代數學基礎叢書 索伯列夫空間導論 目錄

《現代數學基礎叢書》序

前言

第1章 基礎知識

1.1 幾個基本空間的定義

1.1.1 距離空間

1.1.2 線性空間

1.1.3 線性賦范空間

1.1.4 Hilbert空間

1.2 線性算子與線性泛函

1.2.1 線性算子

1.2.2 線性泛函

1.3 連續函數空間

1.3.1 Cm(□)空間的完備性

1.3.2 Cm,λ(□)空間的完備性

1.4 Hilbert空間的Pdesz表示定理與Lax-Milgram定理

第2章 Lp(Ω)空間及其基本性質

2.1 Lp(Ω)空間

2.1.1 Lp(Ω)空間的定義

2.1.2 Holder不等式、Minkowski不等式和Lp(Ω)范數的內插不等式

2.1.3 Lp(Ω)空間的完備性

2.1.4 Lp(Ω)空間的一致凸性

2.1.5 Lp(Ω)空間的一個嵌入定理

2.1.6 Cc(Ω)空間在Lp(Ω)空間中的稠密性

2.1.7 卷積、函數的正則化和C∞ c(Ω)空間在Lp(Ω)空間中的稠密性

2.1.8 Lp(Ω)空間的可分性

2.1.9 Lp(Ω)空間元素的整體連續性

2.2 Lp(Ω)空間上線性泛函的表示形式

2.2.1 預備知識

2.2.2 Lp(Ω)空間的Riesz表示定理

2.3 Lp(Ω)空間的弱完備性

2.3.1 緊集的定義和關于強緊集定理

2.3.2 Lp(Ω)空間的弱完備性與弱緊集定理

2.4 弱Lp(Ω)空間、Marcinkiewicz插值定理

2.4.1 弱Lp(Ω)空間、次線性算子、強型算子和弱型算子

2.4.2 Marcinkiewicz插值定理

2.4.3 Minkowski積分不等式

2.5 混合范數Lp空間

2.6 Lp(、Q)空間中的準緊集

第3章 整數階索伯列夫空間Wm,p(Ω)及其基本性質

3.1 廣義函數

3.1.1 廣義函數的性質

3.1.2 廣義函數的支集

3.1.3 廣義函數的直積

3.1.4 廣義函數的卷積

3.1.5 廣義函數的導數

3.2 間Wm,p(Ω)空間及其性質

3.3 單位分解定理

3.4 區域的幾何性質

3.5 C∞ c(RN,Ω)在Wm,p(Ω)中的稠密性

3.6 Hm,p(Ω)空間

3.7 對偶性與空間W-m,p'(Ω)

3.7.1 Wm,p(Ω)的對偶與Wm,p 0(Ω)的賦范對偶

3.7.2 空間Lp'(Ω)的(-m,p')-范數

3.8 差商與空間W1,p(Ω)

第4章 索伯列夫空間的嵌入定理和插值定理

4.1 嵌入的含義、坐標變換

4.1.1 嵌入的含義

4.1.2 坐標變換

4.2 嵌入定理

4.3 作為Banach代數的Wm,p(Ω)空間

4.4 插值定理

4.5 緊嵌入定理

4.6 延拓定理

4.7 邊界跡

4.8 Poincare不等式和Wm,p 0(Ω)的一個等價范數

第5章 含有時間的空間

5.1 抽象函數

5.2 抽象函數的Bochner積分

5.3 含有時間的空間

5.3.1 LP((0,T);X)空間的完備性

5.3.2 L∞((0,T);X)空間的完備性

5.4 含有時間的索伯列夫空間

5.5 Aubin引理

第6章 索伯列夫空間在偏微分方程中的應用(I)

6.1 預備知識

6.1.1 Gronwall不等式(微分形式)

6.1.2 Gronwall不等式(積分形式)

6.1.3 Jensen不等式

6.1.4 Leray-Schauder不動點定理

6.2 廣義Ginzburg-Landau模型方程的初邊值問題

6.2.1 初邊值問題(6.2.2)-(6.2.4)整體解的存在性與唯一性

6.2.2 解的漸近性質

6.3 一般線性橢圓型方程的Dir-ichlet問題

6.4 具阻尼非線性雙曲型方程的初邊值問題

6.5 廣義立方雙色散方程的初邊值問題

6.6 一類四階非線性發展方程初邊值問題解的漸近性質

6.7 廣義IMBq型方程組的初邊值問題

6.7.1 問題的提出和廣義解的定義

6.7.2 初邊值問題(6.7.17),(6.7.19),(6.7.21)的整體解

6.7.3 問題(6.7.16)-(6.7.21)的整體解

第7章 離散函數空間的插值公式和應用

7.1 一個指標的離散函數

7.1.1 離散函數的插值公式

7.1.2 關于離散函數指數為α的Holder系數的不等式

7.1.3 一個離散函數的不等式

7.1.4 有限維空間連續映射的不動點定理

7.2 廣義SchrSdinger型方程組初邊值問題的有限差分法

7.2.1 有限差分方程組(7.2.3)h和有限差分邊值條件(*)h解的存在性和唯一性

7.2.2 有限差分方程組(7.2.3)h在適當的有限差分邊值條件(*)h和離散的初值條件(7.2.8)h下解的先驗估計

7.2.3 當h2+△t2→0時,有限差分方程組(7.2.3)h,(*)h,(7.2.8)h的離散向量解v△={vn j}j=0,1,,J;n=0,1,,N)的收斂性

第8章 分數階索伯列夫空間

8.1 速降函數、緩增廣義函數

8.1.1 速降函數

8.1.2 緩增廣義函數

8.2 Fourier變換

8.2.1 空間中函數的Fourier變換

8.2.2 空間中函數的Fourier變換

8.2.3 Lebesgue空間中函數的Fourier變換

8.3 分數階索伯列夫空間Hs(RN)

8.4 Hs(RN)空間范數的內插

8.5 分數階索伯列夫空間Hs(Ω)

第9章 索伯列夫空間在偏微分方程中的應用(II)

9.1 具阻尼項的Ⅳ維廣義IMBq方程的Cauchy問題

9.1.1 問題的來歷

9.1.2 Cauehy問題(9.1.2),(9.1.3)在C2([0,∞);HS)中整體解的存在唯一性和解的爆破

9.2 Cauchy問題(9.1.2),(9.1.3)在C3([0,∞);Wm,p ∩ L∞ ∩ L2)中的整體解的存在唯一性和解的爆破

9.3 具Stokes阻尼項的IMBq方程的Cauchy問題

9.3.1 輔助問題(9.3.3),(9.3.4)整體解的存在性和唯一性

9.3.2 Cauchy問題(9.3.1),(9.3.2)

參考文獻

附錄

索引

《現代數學基礎叢書》已出版書目

現代數學基礎叢書 索伯列夫空間導論 精彩文摘

第1章 基礎知識

為了更方便地閱讀本書,本章介紹一些今后常用的泛函分析中的基本概念和定理,其中除了證明個別定理外,一般只寫出定理的具體內容,不加證明,更詳盡的內容可以從其他教科書或專著中查到。

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